关于各向异性乘积上标量曲率紧致性：可变基准度量下的 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$ 上的 Warped Product

我们研究了 Kazaras-Xu 在 \cite{KazarasXu2023} 中提出的形式的 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$ 上的 Warped Product 度量的 Gromov--Sormani MinA 标量曲率紧致性猜想：$$g_i=\varphi_i^{-2}h_i+\varphi_i^2d\xi^2, \qquad h_i=dr^2+u_i^2(r)d\theta^2.$$ 在假设非负标量曲率、统一的体积上界以及闭最小曲面面积的正下界后，我们证明了基准曲面 $(\mathbb{S}^2,h_i)$ 的统一直径界。基于这一关键估计，我们进一步获得了基准 warping functions $u_i$ 的紧致性，以及纤维 warping functions $\varphi_i$ 的局部和全局估计。在取子列的情况下，度量在 $L^p$ 中收敛于极限度量 $g_\infty$。我们也获得了 Gromov--Hausdorff 和 Sormani--Wenger 内在平坦亚收敛，证明 $g_\infty$ 以 Lee--LeFloch 的分布意义下具有非负标量曲率。因此，Gromov--Sormani 标量曲率紧致性猜想在该 Warped Product 类别中得到验证。最后，我们构造了一个 $C^{1,\alpha}$ 的例子，说明在低正则性下体积极限测试对非负标量曲率的细微性。