以最优畸变将Heisenberg群嵌入有界维Euclidean空间

令 $H := \begin{pmatrix} 1 & {\mathbf R} & {\mathbf R} \\ 0 & 1 &{\mathbf R} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 表示具有通常Carnot-Carathéodory度量 $d$ 的Heisenberg群。已知（自Pansu和Semmes的工作以来）度量空间 $(H,d)$ 不能以双Lipschitz方式嵌入Hilbert空间；然而，由Assouad的一般定理，对任意 $0 < \varepsilon < 1$，雪片化度量空间 $(H,d^{1-\varepsilon})$ 以畸变 $O( \varepsilon^{-1/2} )$ 嵌入无限维Hilbert空间。该畸变界被Austin、Naor和Tessera证明对Heisenberg群 $H$ 是最优的。Assouad的论证允许将 $\ell^2$ 替换为 ${\mathbf R}^{D(\varepsilon)}$，其中维数 $D(\varepsilon)$ 依赖于 $\varepsilon$。Naor和Neiman表明 $D$ 可取为与 $\varepsilon$ 无关，代价是将畸变界恶化为 $O( \varepsilon^{-1+c_D} )$，其中当 $D \to \infty$ 时 $c_D \to 0$。在本文中我们证明事实上可以保持最优畸变界 $O( \varepsilon^{-1/2} )$ 并仍嵌入有界维空间 ${\mathbf R}^D$，回答了Naor和Neiman的一个问题。作为推论，$\Gamma := \begin{pmatrix} 1 & {\mathbf Z} & {\mathbf Z} \\ 0 & 1 & {\mathbf Z} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 中半径 $R \geq 2$ 的离散球可以最优畸变界 $O(\log^{1/2} R)$ 嵌入有界维空间 ${\mathbf R}^D$。该构造是迭代的，并受等距嵌入问题中使用的Nash-Moser迭代格式启发；这一格式是为了抵消迭代中某种“导数损失”问题所必需的。