多项式增长群到一致凸空间中的定量不可嵌入性

非交换单连通幂零李群以及非 virtually 阿贝尔的多项式增长有限生成群，不能拟等距嵌入到一致凸 Banach 空间中。我们将其量化：上述群中半径为 $r\ge 2$ 的球，嵌入到 $q(\ge 2)$ 一致凸 Banach 空间时，必然承受至少常数倍的 $(\log r)^{1/q}$ 的双 Lipschitz 畸变。该界对 $L^p$（$1<p<\infty$）空间是尖锐的。我们通过建立从上述群到一致凸空间函数的“垂直 versus 水平不等式”来证明这一点，使用了 Lafforgue 与 Naor（2012）的向量值 Littlewood–Paley–Stein 理论方法。这些不等式是定量不可嵌入陈述：任何从上述群到一致凸空间的 Lipschitz 映射都会沿某些中心子群发生定量塌缩。在 Carnot 群映射到 $L^p$（$1<p<\infty$）空间的特殊情形下，我们证明定量塌缩发生于交换子群上；这与 Cheeger 和 Kleiner（2006）以及 Lee 和 Naor（2006）给出的定性 Pansu–Semmes 不可嵌入论证一致。我们通过建立 Carnot 群上经典 Dorronsoro 定理的一个版本来证明此点。此前，在 Heisenberg 群情形下，F"assler 与 Orponen（2019）建立了单边 Dorronsoro 定理，并对其 Laplacian 指数 $\alpha$ 的范围加以限制 $0<\alpha<2$；该限制在交换情形中不出现，源于他们使用水平多项式作为逼近元。我们确定了正确的逼近多项式类，并证明了一般 Carnot 群情形下具有完整范围 $0<\alpha<\infty$ 指数的双边 Dorronsoro 定理，从而加强并扩展了 F"assler 与 Orponen 的工作。