李群的 Poincaré 剖面与一种粗几何二分法

Poincaré 剖面是一族解析定义的粗不变量,可用作度量空间之间粗嵌入存在的障碍。在本文中,我们计算了所有连通单模李群、Baumslag-Solitar 群和 Thurston 几何的 Poincaré 剖面,展示了两种实质不同的行为类型。在李群的情形,我们得到一种二分法,它同时推广了分离秩一与高秩半单李群的二分法,以及分离具有多项式增长与指数增长的连通可解单模李群的二分法。我们给出了该二分法的等价代数、拟等距和粗几何表述。我们的结果对粗嵌入有许多推论,例如我们推断对于形如 $N\times S$ 的群,其中 $N$ 是连通幂零李群,$S$ 是实秩 1 的简单李群,$N$ 的增长指数与 $S$ 的 Ahlfors 正则共形维数在粗嵌入下均非减。这些结果即使在拟等距情形下也是新的,并给出了拟等距嵌入的障碍,在许多情况下强于 Buyalo-Schroeder 先前所得者。