关于黎曼等距嵌入的几何

本文笔记涉及具有某些几何性质的等距嵌入。我们研究一个微分同胚于 $\RR^n$ 且容许 Bieberbach 群 $\Gamma$ 通过等距作用其上的黎曼流形 $M$ 的两个嵌入问题。第一个问题涉及将 $M$ 等距嵌入到某个欧几里得空间 $\RR^{D_1}$ 的有界子集中的存在性。第二个问题寻求将 $M$ $\Gamma$-等变等距嵌入到 $\RR^{D_2}$ 中。通过以新颖的方式运用一个已知技巧，我们的想法得出了 $D_1 = N+2n$ 和 $D_2 = N+n$ 的结果，其中 $N$ 是 $M/\Gamma$ 的 Nash 维数。此外，我们还证明了一个 Nash 维数为 $N$ 的 $n$ 维光滑流形可以等距嵌入到 $\RR^{2N}$ 的有界子集中。