高偏模数下的等距嵌入 Nash-Kuiper 定理

本文致力于研究高偏模数下黎克利曼流形的等距嵌入问题。近期已证明，任意从 $n$ 维光滑紧致流形到 $2n$ 维欧几里得空间的短嵌入，都可以在 $n\geq3$ 的维数下，以 $C^{1,\theta}$ 形式均匀逼近，其中 $\theta\in(0,1/(n+2))$。本文改进了所构造等距嵌入的 H"{o}lder 正则性，在局部情形下实现 $C^{1,\theta}$ 于所有 $\theta\in(0,1/n)$（奇数维）以及所有 $\theta\in(0,1/(n+1))$（偶数维）。此外，我们还建立了等距嵌入的显式 $C^{1}$ 估计，表明初始度量误差越大，所得等距映射的 $C^{1}$ 范数越大，即其斜率越陡峭。