Heisenberg 群上无双 Lipschitz 片段的 Ahlfors 正则距离

我们证明 Heisenberg 群在向下看（looking down）的意义下不是最小的。这回答了 David 和 Semmes 在《Fractured fractals and broken dreams》中的问题 11.15，或等价地，回答了 Heinonen 和 Semmes 在《Thirty-three yes or no questions about mappings, measures, and metrics》中的问题 22，进而也回答了问题 24。通过给出一个 Ahlfors $4$ 正则度量空间 $X$ 的例子，该空间具有其自身的大片段，使得从 $X$ 的子集到 Heisenberg 群的任何 Lipschitz 映射的像都没有正测度，并且通过提供一个从 Heisenberg 群到空间 $X$ 的 Lipschitz 映射，其像为整个 $X$，我们证明了 Heisenberg 群的非极小性。作为证明上述结果的一部分，我们在 Heisenberg 群上定义了一个新的距离，它被 Carnot-Carathéodory 距离所界定，保持了 Ahlfors 正则性，并且 Carnot-Carathéodory 距离与新距离在任何正测度集上都不是双 Lipschitz 等价的。这种构造更普遍地适用于任何可以进行适当捷径操作的 Ahlfors 正则度量空间。例如，此类空间包括所有雪花化的 Ahlfors 正则度量空间。利用相同的技术，我们还提供了一个 Heisenberg 群上与 Carnot-Carathéodory 距离双 Lipschitz 等价的左不变距离的例子，对于该距离，任何吹胀（blow-up）都不允许非平凡膨胀。