Carnot 群中孔隙集的结构

我们证明任何 Carnot 群都包含一个闭的无处稠密集，该集合测度为零但相对于 Carnot-Carath\'eodory (CC) 距离不是 $\sigma$-孔隙的。在第一 Heisenberg 群中，我们观察到存在相对于 CC 距离是孔隙的但相对于欧几里得距离不是孔隙的集合，反之亦然。在 Carnot 群中，我们随后构造了一个 Lipschitz 函数，该函数在给定 $\sigma$-孔隙集的任何点处都不存在 Pansu 导数，并证明在水平梯度下开集的原像远非孔隙的。