Heisenberg 群内蕴 Lipschitz 图上的 Riesz 变换

我们证明 Heisenberg Riesz 变换在第一 Heisenberg 群 $\mathbb{H}$ 中的一族内蕴 Lipschitz 图上是 $L_2$--无界的。我们通过将 \cite{NY2} 中的方法与停时论证相结合来构造该族，并通过引入若干新技术分析内蕴 Lipschitz 图上的奇异积分，确立了 Riesz 变换的 $L_2$--无界性。这些技术包括用垂直平面上的奇异积分表示 Riesz 变换的公式，以及由图的扰动产生的奇异积分流的界。在此过程中，我们利用我们的构造证明了强几何引理在 $\mathbb{H}$ 中对所有 $[2,4)$ 中的指数均不成立。我们的结果与欧氏调和分析与几何测度论中的两个基本结果形成鲜明对比：$\mathbb{R}^n$ 中的 Lipschitz 图满足强几何引理，且 $m$--Riesz 变换在 $\mathbb{R}^n$ 中的 $m$--维 Lipschitz 图上对于 $m\in (0,n)$ 是 $L_2$--有界的。