$L^p$ 有界性：通过仿射化 perm 双代数与 pre-Lie 双代数构造无限维 Lie 双代数

已知 perm 代数和 pre-Lie 代数的 operad 互为 Koszul 对偶，因此 perm 代数与 pre-Lie 代数的张量积上存在一个 Lie 代数结构。反之，我们在 Laurent 多项式向量空间上构造了一个特殊的 perm 代数结构和特殊的 pre-Lie 代数结构，使得与 pre-Lie 代数或 perm 代数的张量积成为 Lie 代数这一性质分别刻画了 pre-Lie 代数和 perm 代数。这分别称为 pre-Lie 代数和 perm 代数的仿射化。此外，我们将这种对应关系推广到双代数语境，即 perm 代数或 pre-Lie 代数上的双代数结构可以通过其与一个二次 pre-Lie 代数或二次 perm 代数的仿射化分别给出一个无限维 Lie 双代数来刻画。在 perm 代数情形，相应的双代数结构称为 perm 双代数，它也可以独立地通过 perm 代数的 Manin 三元组来刻画。我们引入了 perm Yang-Baxter 方程的概念，其对称解给出 perm 双代数。perm 代数中 perm Yang-Baxter 方程的对称解与由 perm 代数诱导的无限维 Lie 代数中某些反对称经典 Yang-Baxter 方程的解之间存在对应关系。在 pre-Lie 代数情形，相应的双代数结构是构造良好的 pre-Lie 双代数。我们给出了相关结构的类似对应关系。