海森堡群中的内蕴Lipschitz图与垂直$\beta$数

本文旨在引入并研究第一个海森堡群 $\mathbb{H}$ 中定量可求长性的一些基本概念。特别地，我们旨在证明与由G. David和S. Semmes在90年代奠基的欧氏理论相比，出现了新现象。$\mathbb{H}$ 中的理论与某些非线性偏微分方程有明显的联系，而这些方程在 $\mathbb{R}^{3}$ 的类似问题中不起作用。我们的主要研究对象是B. Franchi、R. Serapioni和F. Serra Cassano于2006年引入的海森堡群中的内蕴Lipschitz图。我们主张，这些 $\mathbb{H}$ 中的 $3$ 维集合（如果有的话）理应被称为定量 $3$-可求长的。我们的主要结果是内蕴Lipschitz图满足关于垂直 $\beta$-数的弱几何引理。反之，推广David和Semmes在 $\mathbb{R}^{n}$ 中的结果，我们证明了一个满足弱几何引理且具有大垂直投影的 $\mathbb{H}$ 中 $3$-Ahlfors-David正则子集必然包含大块内蕴Lipschitz图。