纯指数体积增长的调和流形上的傅里叶变换

设 $X$ 为完备单连通的纯指数体积增长的调和流形。此类流形包含所有非平坦的非正曲率调和流形，特别地包含所有已知的调和流形例子，除了平坦空间。以 $h > 0$ 表示 $X$ 中 horosphere 的平均曲率，并令 $\rho = h/2$。固定基点 $o \in X$，对 $\xi \in \partial X$，以 $B_{\xi}$ 表示 $\xi$ 处的 Busemann 函数使得 $B_{\xi}(o) = 0$。则对 $\lambda \in \C$，函数 $e^{(i\lambda - \rho)B_{\xi}}$ 是 Laplace-Beltrami 算子的具有特征值 $-(\lambda^2 + \rho^2)$ 的本征函数。对 $X$ 上的函数 $f$，我们定义 $f$ 的傅里叶变换为 $$\tilde{f}(\lambda, \xi) := \int_X f(x) e^{(-i\lambda - \rho)B_{\xi}(x)} dvol(x)$$ 对所有积分收敛的 $\lambda \in \C, \xi \in \partial X$。我们证明傅里叶反演公式 $$f(x) = C_0 \int_{0}^{\infty} \int_{\partial X} \tilde{f}(\lambda, \xi) e^{(i\lambda - \rho)B_{\xi}(x)} d\lambda_o(\xi) |c(\lambda)|^{-2} d\lambda$$ 对 $f \in C^{\infty}_c(X)$ 成立，其中 $c$ 是 $\mathbb{R} - \{0\}$ 上的某函数，$\lambda_o$ 是相对于基点 $o \in X$ 在 $\partial X$ 上的可见性测度，且 $C_0 > 0$ 为常数。我们还证明了 Plancherel 定理以及 Kunze-Stein 现象的一个版本。