负曲率调和流形上的傅里叶变换

设 $X$ 为一个完备、单连通的调和流形，其截面曲率 $K$ 满足 $K \leq -1$，并令 $\partial X$ 表示 $X$ 的无穷远边界。令 $h > 0$ 表示 $X$ 中 horosphere（水平球）的平均曲率，并令 $\rho = h/2$。固定基点 $o \in X$，对 $\xi \in \partial X$，令 $B_{\xi}$ 表示 $\xi$ 处的 Busemann 函数，满足 $B_{\xi}(o) = 0$，则对 $\lambda \in \mathbb{C}$，函数 $e^{(i\lambda - \rho)B_{\xi}}$ 是 Laplace-Beltrami 算子的特征函数，特征值为 $-(\lambda^2 + \rho^2)$。对 $X$ 上的函数 $f$，我们定义 $f$ 的傅里叶变换为 $$\tilde{f}(\lambda, \xi) := \int_X f(x) e^{(-i\lambda - \rho)B_{\xi}(x)} dvol(x)$$ 对所有积分收敛的 $\lambda \in \mathbb{C}, \xi \in \partial X$ 成立。我们证明傅里叶反演公式 $$f(x) = C_0 \int_{0}^{\infty} \int_{\partial X} \tilde{f}(\lambda, \xi) e^{(i\lambda - \rho)B_{\xi}(x)} d\lambda_o(\xi) |c(\lambda)|^{-2} d\lambda$$ 对 $f \in C^{\infty}_c(X)$ 成立，其中 $c$ 是 $\mathbb{R} - \{0\}$ 上的某个函数，$\lambda_o$ 是关于基点 $o \in X$ 的 $\partial X$ 上的可见性测度，$C_0 > 0$ 为常数。我们还证明了 Plancherel 定理。这推广了非紧型秩一对称空间与负曲率调和 $NA$ 群（或 Damek-Ricci 空间）上的相应结果。