Beurling–Helson 型定理中的估计：多维情形

我们考虑 $m$ 维环面 $\mathbb T^m$ 上的函数空间 $A_p(\mathbb T^m)$，其傅里叶系数序列 $\hat{f}=\{\hat{f}(k), ~k \in \mathbb Z^m\}$ 属于 $l^p(\mathbb Z^m), ~1\leq p<2$。$A_p(\mathbb T^m)$ 上的范数定义为 $\|f\|_{A_p(\mathbb T^m)}=\|\hat{f}\|_{l^p(\mathbb Z^m)}$。我们研究当 $|\lambda|\rightarrow \infty, ~\lambda\in\mathbb R$ 时，对于 $\mathbb T^m$ 上的 $C^1$ 光滑实函数 $\varphi$，范数 $\|e^{i\lambda\varphi}\|_{A_p(\mathbb T^m)}$ 的增长速率（一维情形已由作者先前研究）。我们得到的下界估计在空间 $A_p(\mathbb R^m)$ 上有直接类比。