由快速增长权诱导的加权 Bergman 空间

本专著致力于研究单位圆盘 $\D$ 上由满足条件 {equation}\label{absteq} \lim_{r\to 1^-}\frac{\int_r^1\om(s)\,ds}{\om(r)(1-r)}=\infty.\tag{\dag} {equation} 的径向连续权 $\om$ 所诱导的加权 Bergman 空间 $A^p_\om$。每一个这样的 $A^p_\om$ 都介于 Hardy 空间 $H^p$ 与任何经典加权 Bergman 空间 $A^p_\a$ 之间。尽管众所周知当 $\a\to-1$ 时 $H^p$ 是 $A^p_\a$ 的极限，但在许多方面，本文表明 $A^p_\om$ 比任何 $A^p_\a$ 都更“接近”$H^p$，且 $A^p_\a$ 的若干更精细的函数论性质并不能推广到 $A^p_\om$。就具体研究对象而言，本文利用涉及 Carleson 方块的简洁几何条件，刻画了使得 $A^p_\om\subset L^q(\mu)$（其中 $0<p\le q<\infty$）成立的 $\D$ 上的正 Borel 测度 $\mu$。此外还证明了每个 $f\in A^p_\om$ 均可表示为 $f=f_1\cdot f_2$ 的形式，其中 $f_1\in A^{p_1}_\om$，$f_2\in A^{p_2}_\om$，且 $\frac{1}{p_1}+ \frac{1}{p_2}=\frac{1}{p}$。鉴于 $A^p_\om$ 的复杂特性，本文引入了一些新概念。这引发了一种研究积分算子 $$T_g(f)(z)=\int_{0}^{z}f(\zeta)\,g'(\zeta)\,d\zeta.$$ 的 somewhat 新方法。本研究揭示了 $T_g:A^p_\om\to A^p_\om$ 有界当且仅当 $g$ 属于某个非共形不变的解析函数空间。本文还描述了使得 $T_g$ 属于 Schatten $p$-类 $\SSS_p(A^2_\om)$ 的符号 $g$。此外，所开发的技术被应用于研究（线性）微分方程解析解的增长性与振荡性。