布朗运动的限制

设 $\{ B(t) \colon 0\leq t\leq 1\}$ 是一个线性布朗运动，$\dim$ 表示豪斯多夫维数。设 $\alpha>\frac12$ 且 $1\leq \beta \leq 2$。我们证明，几乎必然地，不存在集合 $A\subset[0,1]$ 使得 $\dim A>\frac12$ 且 $B\colon A\to\mathbb{R}$ 是 $\alpha$-赫尔德连续的。证明是考夫曼维数加倍定理的一个应用。作为上述定理的推论，我们证明，几乎必然地，不存在集合 $A\subset[0,1]$ 使得 $\dim A>\frac{\beta}{2}$ 且 $B\colon A\to\mathbb{R}$ 具有有限的 $\beta$-变差。$B$ 的零点集和一个确定性构造表明上述定理给出了最优维数。