存活集的豪斯多夫维数

设$1<\beta<2`，序列$\alpha(\beta)=\alpha(\beta)_1\alpha(\beta)_2\dotsb`为$1`的准贪心$\beta`-展开，且$t\in[0,1)`为分岔参数。$beta-变换定义为$T_{\beta}(x)=\beta x (mod 1)`，其中$x\in[0,1)`。存活集$K(t)=\{x\in[0,1)`:$T_{\beta}^k(x)\notin(0,t)`, $\forall k\geq0\}`的豪斯多夫维数等于$-\frac{\ln\lambda}{\ln\beta}`，前提是$\sum_{i=k}^{\infty}\frac{\alpha(\beta)_i }{\beta^i}\geq t`对任意$k\geq1`成立，其中$\lambda\in(0,1)`为方程$ \sum_{n=1}^{\infty}(\alpha(\beta)_n-t_n)x^n=1`的最小正解，其中$(t_n)`为$t`的准贪心$\beta`-展开。此外，存活集$K(t)`的豪斯多夫维数函数的局部Hölder指数大于函数本身的数值。