在 $0$ 处带孔的 $\beta$-变换的临界值

给定 $\beta\in(1,2]$，令 $T_\beta$ 为单位圆周 $[0,1)$ 上的 $\beta$-变换，满足 $T_\beta(x)=\beta x\pmod 1$。对每个 $t\in[0,1)$，令 $K_\beta(t)$ 为幸存集，由所有轨道 $\{T^n_\beta(x): n\ge 0\}$ 从不击中开区间 $(0,t)$ 的 $x\in[0,1)$ 组成。Kalle 等人在 [Ergodic Theory Dynam. Systems, 40 (9): 2482--2514, 2020] 中证明 Hausdorff 维数函数 $t\mapsto\dim_H K_\beta(t)$ 是一个非增的魔鬼阶梯。因此存在临界值 $\tau(\beta)$，使得 $\dim_H K_\beta(t)>0$ 当且仅当 $t<\tau(\beta)$。本文中我们确定了所有 $\beta\in(1,2]$ 的临界值 $\tau(\beta)$，回答了 Kalle 等人(2020)的一个问题。例如，我们发现对于 Komornik-Loreti 常数 $\beta\approx 1.78723$，有 $\tau(\beta)=(2-\beta)/(\beta-1)$。进一步，我们证明：(i) 函数 $\tau: \beta\mapsto\tau(\beta)$ 在 $(1,2]$ 上左连续且处处有右极限，但具有可数无穷多个不连续点；(ii) $\tau$ 无向下跳跃，且 $\tau(1+)=0$、$\tau(2)=1/2$；(iii) 存在开集 $O\subset(1,2]$，其补集 $(1,2]\setminus O$ 的 Hausdorff 维数为零，使得 $\tau$ 在 $O$ 的每个连通分支上实解析、凸且严格递减。我们求临界值 $\tau(\beta)$ 的策略依赖于 Farey 词的某些替换以及来自动力系统的重整化格式。