源于在 $0$ 处带孔的 beta 变换的两个分支集

给定 $\beta\in(1,2]$，Kalle 等人 (2019) 研究了圆 $[0, 1)$ 上带孔 $[0, t)$ 的 $\beta$-变换 $T_\beta: x\mapsto \beta x\pmod 1$。他们描述了集值分支集 $$\mathcal E_\beta:=\{t\in[0, 1): K_\beta(t')\ne K_\beta(t)~\forall t'>t\},$$ 其中 $K_\beta(t):=\{x\in[0, 1): T_\beta^n(x)\ge t~\forall n\ge 0\}$ 为幸存集。在本文中，我们研究维数分支集 $$\mathcal B_\beta:=\{t\in[0, 1): \dim_H K_\beta(t')\ne \dim_H K_\beta(t)~\forall t'>t\},$$ 其中 $\dim_H$ 表示豪斯多夫维数。我们证明若 $\beta\in(1,2]$ 为 multinacci 数，则两个分支集 $\mathcal B_\beta$ 与 $\mathcal E_\beta$ 重合。此外，我们给出了这两个集合的完整刻画。作为主结果的推论，我们证明了对于 multinacci 数 $\beta$，对任意 $t\in[0, 1)$ 有 $\dim_H(\mathcal E_\beta\cap[t, 1])=\dim_H K_\beta(t)$。这证实了 Kalle 等人关于 $\beta$ 为 multinacci 数的猜想。