在$0$处有洞的$\beta$-变换：一般情形

给定$\beta>1$，令$T_\beta$为单位圆$[0,1)$上的$\beta$-变换，定义为$T_\beta(x)=\beta x-\lfloor \beta x\rfloor$。对于每个$t\in[0,1)$，令$K_\beta(t)$为幸存集，由所有其轨道$\{T^n_\beta(x): n\ge 0\}$从未进入区间$[0,t)$的$x\in[0,1)$组成。Kalle等人[{\em Ergodic Theory Dynam. Systems} {\bf 40} (2020), no.~9, 2482--2514]考虑了$\beta\in(1,2]$的情形。他们研究了集值分岔集$\mathscr{E}_\beta:=\{t\in[0,1): K_\beta(t')\ne K_\beta(t)~\forall t'>t\}$，并证明了Hausdorff维数函数$t\mapsto\dim_H K_\beta(t)$是一个非增的Devil阶梯。在之前的一篇论文[{\em Ergodic Theory Dynam. Systems} {\bf 43} (2023), no.~6, 1785--1828]中，我们确定了对于所有$\beta\in(1,2]$，临界值$\tau(\beta):=\min\{t>0: \eta_\beta(t)=0\}$。本文的目的是将这些结果推广到所有$\beta>1$。除了计算$\tau(\beta)$，我们还证明了(i) 函数$\tau: \beta\mapsto\tau(\beta)$在$(1,\infty)$上左连续，处处有右极限，但存在可数无穷多个不连续点；(ii) $\tau$没有向下跳跃；(iii) 存在一个开集$O\subset(1,\infty)$，其补集$(1,\infty)\backslash O$的Hausdorff维数为零，使得$\tau$在$O$的每个连通分量上是实解析、严格凸且严格递减的。我们还证明了分岔集$\mathscr{E}_\beta$的几个拓扑性质。将结果从$\beta\in(1,2]$推广到所有$\beta>1$的关键是对Farey词进行适当的推广，这些词用于参数化集合$O$的连通分量。上述论文中的一些原始证明得到了简化。