在0处带孔的β-变换的熵平台、传递性与分支集

给定β>1，令T_β为单位圆周[0,1)上的β-变换，满足T_β(x)=βx (mod 1)。对每个t∈[0,1)，令K_β(t)为幸存集，由所有轨道{T^n_β(x): n≥0}从不进入区间[0,t)的x∈[0,1)组成。令ℰ_β表示集值映射t↦K_β(t)的分支集，Kalle等人[Ergodic Theory Dynam. Systems, 40 (9): 2482--2514, 2020]猜想：对所有t∈(0,1)，有dim_H(ℰ_β∩[t,1])=dim_H K_β(t)。本文的主要目的是证明该猜想。我们通过研究幸存集K_β(t)的符号等价物的动力学性质，特别是其熵与拓扑传递性来实现。此外，我们将ℰ_β与映射t↦dim_H K_β(t)的分支集ℬ_β（由Kalle等人的定理可知其为递减的魔鬼阶梯）进行比较，并证明：对Lebesgue-几乎所有β>1，差集ℰ_β\ℬ_β具有正Hausdorff维数；但对每个k∈{0,1,2,…}∪{ℵ_0}，存在无穷多个β使得ℰ_β\ℬ_β的基数恰为k。对可数但稠密的β子集，我们还确定了函数t↦dim_H K_β(t)的常值区间。文中亦讨论了与动力学中其他课题的一些联系，如Lorenz映射的揉不变量与带任意孔的倍映射。