带凸孔的面包师映射

我们考虑单位正方形 $X$ 上的面包师映射 $B$ 以及一个开凸集 $H\subset X$，将其视为一个孔。生存集 $\mathcal J(H)$ 定义为 $X$ 中所有 $B$-轨迹与 $H$ 不相交的点组成的集合。本文的主要目的在于研究满足 $\dim_H \mathcal J(H)=0$ 的孔 $H$（维数陷阱）以及满足 $B$ 的任意周期轨迹与 $\overline H$ 相交的孔 $H$（循环陷阱）。我们证明，任何位于 $X$ 内部的 $H$ 都不是维数陷阱。这意味着，与加倍映射及其他一维例子不同，对于勒贝格测度任意接近于 1 的 $H$，我们可以有 $\dim_H \mathcal J(H)>0$。此外，我们描述了作为维数或循环陷阱的孔，它们在如下意义下是临界的：若考虑严格凸子集，则所讨论的相应性质不再成立。我们还确定了 $\delta>0$，使得对于所有勒贝格测度小于 $\delta$ 的凸 $H$，有 $\dim_H \mathcal J(H)>0$。本文可视为我们将 [3, 4, 6, 7, 13] 中开始的工作向高维的首次推广。