关于三种非凸性度量

集合 $X \subseteq \mathbb{R}^d$ 的不可见图 $I(X)$ 是一个（可能是无限的）图，其顶点是 $X$ 的点，当且仅当连接两个对应点的直线段不完全包含在 $X$ 中时，两个顶点由一条边连接。我们考虑集合 $X$ 的以下三个参数：团数 $\omega(I(X))$、色数 $\chi(I(X))$ 和凸数 $\gamma(X)$，其中凸数是覆盖 $X$ 所需的 $X$ 的凸子集的最小数量。我们解决了 Matou\v{s}ek 和 Valtr 的一个猜想，该猜想声称对于每个平面集 $X$，$\gamma(X)$ 可以用 $\chi(I(X))$ 来界定。作为证明的一部分，我们表明一个在其边界附近有 $n$ 个单点孔的圆盘具有 $\chi(I(X)) \ge \log\log(n)$，但 $\omega(I(X))=3$。我们还发现了 $\mathbb{R}^5$ 中的集合 $X$，其 $\chi(X)=2$，但 $\gamma(X)$ 可以任意大。