关于低维全可分 packing 的接触图

在欧几里得 $d$ 维空间 $\mathbb E^d$ 中，凸体平移的 packing 的接触图是一个简单图，其顶点为 packing 的成员，若两个成员相互接触，则相应的两个顶点由一条边连接。如果凸体平移的 packing 中的任意两个成员都可以被 $\mathbb E^d$ 中一个不与任何 packing 元素内部相交的超平面所分离，则称该 packing 为全可分的。我们给出了 $\mathbb E^d$（其中 $d=2,3,4$）中任意光滑凸体的 $n$ 个平移的全可分 packing 的接触图的最大顶点度（称为可分 Hadwiger 数）和最大边数（称为最大可分接触数）的上界。在证明中，将线性代数方法与凸性方法相结合，并使用了基于底层等周（相应地，逆向等周）不等式的体积与 packing 密度估计。