有限 $\rho$-可分填充的平均投影最小化

若 $d$ 维欧几里得空间 $\mathbb{E}^d$ 中凸体平移的填充满足任意两个填充元素均可由与每个填充元素内部不相交的 $\mathbb{E}^{d}$ 超平面分离，则称该填充为完全可分的。对于给定的 $\rho\geq 1$，若 $\mathbb{E}^d$ 中中心对称凸体 $\mathbf{C}$ 的平移填充 $\mathcal P$ 满足：在以 $\mathcal P$ 的某一填充元素为中心、半径为 $\rho$（按 $\mathbf{C}$ 生成的范数度量）的每一个球中，$\mathcal P$ 的相应子填充是完全可分的，则称 $\mathcal P$ 为 $\rho$-可分填充。本文的主要结果如下定理。考虑任意中心对称凸体 $\mathbf{C}$ 的 $n$ 个互不重叠的平移在 $\mathbb{E}^d$ 中构成 $\rho$-可分填充所生成的凸包 $\mathbf{Q}$，其中对于给定的 $\rho\geq 1$，$n$ 充分大。若对给定的 $i$（$1\leq i<d$），$\mathbf{Q}$ 具有最小的平均 $i$ 维投影，则 $\mathbf{Q}$ 近似为一个 $d$ 维球。这将 K. Böröczky Jr. [Monatsh. Math. 118 (1994), 41-54] 的定理从平移填充推广到 $\rho\geq 1$ 的 $\rho$-可分平移填充。