关于局部可分层单位球填装的接触数

欧几里得 $d$ 空间中有限个球体的填装的接触数，是指该填装中相互接触的球体对的数量。球填装的一个著名子族由所谓完全可分层球填装构成：这里，欧几里得 $d$ 空间中球体的一个填装被称为完全可分的，如果任意两个球可被一个超平面分离，使得该超平面与填装中每个球的内部都不相交。Bezdek、Szalkai 和 Szalkai（Discrete Math. 339(2): 668-676, 2016）根据 $n$ 和 $d$ 给出了欧几里得 $d$ 空间中 $n$ 个单位球的完全可分层填装的接触数的上界。本文中我们改进了他们的上界，并将该新上界推广到所谓单位球的局部可分层填装。我们称单位球的一个填装为局部可分层填装，如果该填装中的每个单位球以及与它相切的单位球一起构成一个完全可分层填装。在平面上，我们通过刻画所有具有最大接触数的 $n$ 个单位圆盘局部可分层填装，证明了一个晶化结果。