从可分离 Tammes 问题到单位球中大圆的极值分布

二维单位球面 $\mathbb{S}^2$ 上一族球冠若满足： packing 中任意两个球冠均可被一条与 packing 中每个球冠内部不相交的大圆分离，则简称其为完全可分离填充（TS-填充）。可分离 Tammes 问题问的是：在 $\mathbb{S}^2$ 中由给定数量的全等球冠构成 TS-填充时，其最大密度是多少。我们对该问题在至多 $8$ 个球冠的情形下给出了解，并依据球冠的角半径给出了任意由全等球冠构成的 TS-填充密度的上界。基于此，我们证明了三维欧氏球的中心可分离吻接数为 $8$。此外，我们证明了由 $n>1$ 条大圆在 $\mathbb{S}^2$ 中生成的铺砌之单元格最小内切半径最大值的相关界。接着，我们证明了 $\mathbb{S}^2$ 上由全等球冠构成的 TS-覆盖的对偶界。此处，若 $\mathbb{S}^2$ 被球冠覆盖，且存在由 $\mathbb{S}^2$ 上有限多条大圆生成的铺砌，使得铺砌的单元格被覆盖中两两不同的球冠所覆盖，则称该覆盖为完全可分离覆盖（简称 TS-覆盖）。最后，我们将关于 TS-覆盖的若干界推广到维数 $>2$ 的球面空间。