短多边形链的分离图

一个集合系统的{\em 分离图}是指其顶点为这些集合的图，当且仅当两个顶点所对应的集合互不相交时连有一条边。已知平面上任意线段系统的分离图 $G$ 是{\em $\chi$-有界的}，即其色数 $\chi(G)$ 由其团数 $\omega(G)$ 的函数上界所限制。本文表明该结论对长度为 $2$ 的多边形链系统不再成立。我们还构造了长度为 $3$ 的多边形链系统，使其分离图具有任意大的围长与色数。相反地，我们证明了（可能自相交的）长度为 $3$ 的\emph{$2$-路无限}多边形链的分离图类是 $\chi$-有界的：对每一个这样的图 $G$，有 $\chi(G)\le(\omega(G))^3+\omega(G)$。