循环凸性图产品中的 Hull 数与凸性数的复杂度与结构结果

设$G$为一张图，$S \subseteq V(G)$。在循环凸性（cycle convexity）中，若对任意$u\in V(G)\setminus S$，$S\cup\{u\}$诱导的子图不包含包含$u$的循环，则称$S$为“循环凸”（cycle convex）。$S$的“循环凸包”（cycle convex hull）为包含$S$的最小凸集。$G$的“循环 Hull 数”（cycle hull number）记为$hn_{cc}(G)$，指使其凸包为$V(G)$的最小集合的基数。$G$的“凸性数”（convexity number）记为$C_{cc}(G)$，指$V(G)$的正确凸集的最大基数。本文研究图产品中的循环凸性。我们证明，强积和字典序积中，循环 Hull 数恒为2。对于笛卡尔积，本文给出紧致界限，并提供当因子为树时闭式公式，推广了现有网格图结果。此外，给定图$G$和整数$k$，我们证明$hn_{cc}(G) \leq k$即为NP难题，即便$G$为二分图笛卡尔积。此外，我们为这三种图产品中的循环凸性数给出精确公式。由此推导出：给定图$G$和整数$k$，判定$C_{cc}(G) \geq k$是否为NP难题，当$G$为笛卡尔积、强积或字典序积时。