圈凸性及其与链环隧道数的关系

在本文中，我们受纽结理论中相关概念的启发，引入了一种新的图凸性，称之为圈凸性（Cycle Convexity）。对于图 $G=(V,E)$，对每個 $S\subseteq V(G)$，将圈凸性下的区间函数定义为 $I_{cc}(S) = S\cup \{v\in V(G)\mid \text{存在圈 }C\text{ 在 }G\text{ 中使得 } V(C)\setminus S=\{v\}\}$。若 $I_{cc}(S)=S$，则称 $S\subseteq V(G)$ 是凸的。集合 $S\subseteq V(G)$ 的凸包，记作 $Hull(S)$，是包含 $S$ 的极小（按包含关系）凸集 $S'$。若 $Hull(S)=V(G)$，则称 $S\subseteq V(G)$ 为壳集（hull set）。图 $G$ 在圈凸性下的壳数，记作 $hn_{cc}(G)$，是 $G$ 的最小壳集的基数。我们首先给出引入该凸性及其相关壳数研究的动机。随后证明：4-正则平面图的壳数至多为其顶点数的一半；计算平面图的壳数是 $NP$-完全问题；计算弦图、$P_4$-稀疏图和网格的壳数可在多项式时间内完成。