弱收费凸性中计算壳与区间数

图 $G$ 的一条途径 $u_0u_1 \ldots u_{k-1}u_k$ 若满足 $u_0u_k \not\in E(G)$、$u_0u_i \in E(G)$ 蕴含 $u_i = u_1$、且 $u_ju_k\in E(G)$ 蕴含 $u_j=u_{k-1}$，则称为 \textit{弱收费途径}。集合 $S \subseteq V(G)$ 的 {\em 弱收费区间}，记为 $I(S)$，由 $S$ 以及属于 $S$ 中两顶点间某条弱收费途径的顶点构成。若 $I(S) = S$，则集合 $S$ 是 {\it 弱收费凸}的。$S$ 的 {\em 弱收费凸壳}，记为 $H(S)$，是包含 $S$ 的最小弱收费凸集。$G$ 的 {\em 弱收费区间数}是满足 $I(S) = V(G)$ 的集合 $S \subseteq V(G)$ 的最小基数；而 $G$ 的 {\em 弱收费壳数}是满足 $H(S) = V(G)$ 的集合 $S \subseteq V(G)$ 的最小基数。本文中，我们展示了如何在多项式时间内计算图的弱收费区间数与弱收费壳数。相反，我们证明了确定图 $G$ 的弱收费凸数（异于 $V(G)$ 的最大弱收费凸集的大小）是 \NP-hard 的。