树的偏心图及其笛卡尔积

设 $G$ 为一个无向简单连通图。若 $d(u,v)=\max\{d(v,w): w\in V(G)\}$，则称顶点 $u$ 在 $G$ 中相对于顶点 $v$ 是偏心的。偏心图 $E(G)$ 是与 $G$ 具有相同顶点集的图，若两个顶点中一个相对于另一个偏心，则它们相邻。我们找到了树的偏心图的结构与围长，并发现树的偏心图的围长只能为零、三或四。进一步，我们研究了图的笛卡尔积的偏心图的结构，并证明树的笛卡尔积的偏心图的围长只能为零、三、四或六。此外，我们对偏心围长取这些值时给出了全面的分类。我们还给出了网格图与圈的笛卡尔积的偏心图的结构。最后，我们确定了树的笛卡尔积的偏心矩阵可逆的条件。