树的偏心率距离和的极值

设 $G=(V_G, E_G)$ 为一个简单连通图。$G$ 的偏心率距离和定义为 $\xi^{d}(G) = \sum_{v\in V_G}\varepsilon_{G}(v)D_{G}(v)$，其中 $\varepsilon_G(v)$ 是顶点 $v$ 的偏心率，$D_G(v) = \sum_{u\in V_G}d_G(u,v)$ 是从顶点 $v$ 到所有其他顶点的距离之和。本文分别确定了具有支配数 $\gamma$ 的 $n$ 顶点树中偏心率距离和最小的树，以及满足 $n = k\gamma$ 且具有支配数 $\gamma$ 的 $n$ 顶点树中偏心率距离和最大的树（针对 $k=2,3,\frac{n}{3},\frac{n}{2}$）。确定了具有 $k$ 个叶子的 $n$ 顶点树的偏心率距离和的尖锐上下界。最后，分别确定了具有给定二部划分的 $n$ 顶点树中偏心率距离和最小、第二小和第三小的树。