$\Delta$ 凸性中的分区与覆盖

给定图 $G$ 和一个子集 $S \subseteq V(G)$，若图中每个不在 $S$ 中的顶点的邻居构成一个独立集，则称 $S$ 为 $\Delta$ 凸集。若由图 $G$ 的若干凸集组成的序列 ${\cal V} = (V_1, V_2, \ldots , V_p)$ 满足 $V(G) = \underset{1 \leq i \leq p}{\bigcup} V_i$ 且 $V_i \nsubseteq {\underset{1 \leq j \leq p, j\ne i}{\bigcup}} V_j$ 对所有 $i \in \{1, \ldots, p\}$ 成立，则称其为凸 $p$ 覆盖。如果凸集 ${\cal V}$ 中的各集合两两不相交，则称 ${\cal V}$ 为 $V(G)$ 的凸 $p$ 分区。图 $G$ 的凸覆盖数 $\phi_c(G)$（凸分区数 $\Theta_c(G)$）是指最小的整数 $p \geq 2$，使得 $G$ 存在凸 $p$ 覆盖（凸 $p$ 分区）。在本工作中，我们证明对于任意固定的 $p \ge 4$，{\sc Convex p-cover} 与 {\sc Convex p-Partition} 问题在 $\Delta$ 凸性下均为 \NP-完整问题。此外，对于三种标准图乘积——即笛卡尔积、强积和 lexicographic 积，我们确定这些参数的若干情形，并给出其他情形的下界。