正方形中斜帐篷映射的等拓扑熵曲线

我们考虑斜帐篷映射$T_{{\alpha}, {\beta}}(x)$,其中$({\alpha}, {\beta})\in[0,1]^{2}$是$T_{ {\alpha}, {\beta}}$的转折点,即对于$0\leq x \leq {\alpha}$有$T_{{\alpha}, {\beta}}=\frac{{\beta}}{{\alpha}}x$,对于${\alpha}<x\leq 1$有$T_{{\alpha}, {\beta}}(x)=\frac{{\beta}}{1-{\alpha}}(1-x)$。我们用${\underline{M}}=K({\alpha}, {\beta})$表示$T_ {{\alpha}, {\beta}}$的揉序列,用$h({\alpha}, {\beta})$表示其拓扑熵。对于给定的揉序列${\underline{M}}$,我们考虑等揉序列(或等拓扑熵,或等熵)曲线$({\alpha}, \varphi_{{\underline{M}}}({\alpha}))$,使得$K({\alpha}, {\varphi}_{{\underline{M}}}({\alpha}))= {\underline{M}}$。为研究这些曲线的行为,引入辅助函数${\Theta}_{{\underline{M}}}({\alpha}, {\beta})$。对于该函数有${\Theta}_{{\underline{M}}}({\alpha}, \varphi_{{\underline{M}}}({\alpha}))=0$,但可能对某些揉序列,在$({\alpha}, {\beta})$仍位于感兴趣区域内时,对某个${\beta}< \varphi_{{\underline{M}}}({\alpha})$有$\Theta_{{\underline{M}}}({\alpha}, {\beta})=0$。利用${\Theta}_{{\underline{M}}}$我们证明曲线$({\alpha},\varphi_{{\underline{M}}}({\alpha}))$在$({\beta}, {\beta})$接近$(1,1)$时几乎垂直于对角线$\{({\beta}, {\beta}): 0.5< {\beta}<1 \}$。通过回答M. Misiurewicz在会议上提出的问题,我们证明这些曲线不一定严格正交于对角线,例如对于${\underline{M}}=RLLRC$,曲线$(\alpha, {\varphi}_{{\underline{M}}}({\alpha}))$不正交于对角线。另一方面,对于${\underline{M}}=RLC$则正交。具有不同参数化性质的斜帐篷映射等揉序列映射曾由J.C. Marcuard、M. Misiurewicz和E. Visinescu研究过。