分段扩张单峰映射熵的灵活性

我们研究了分段扩张单峰映射类熵（拓扑熵和测度熵）的灵活性。我们证明，在该类映射中，拓扑熵和测度熵取值的唯一限制是两者均为正数，拓扑熵至多为 $\log 2$，并且根据变分原理，测度熵不大于拓扑熵。为了更好地控制测度熵，我们主要研究拓扑混合的分段扩张斜帐篷映射（skew tent maps），这类映射只有两种不同的斜率。对于这些映射，存在一个额外的限制，即拓扑熵大于 $\frac{1}{2}\log2$。我们还观察到一个有趣的现象：对于斜帐篷映射，映射在临界值处所有迭代的导数倒数之和为零。这是对连接单峰映射拓扑熵与揉捏行列式（kneading determinant）的 Milnor-Thurston 公式的一种推广和不同诠释。