零温下沿薛定谔桥的图上的熵曲率

Lott-Sturm-Villani 关于测地空间曲率的理论已由 C. Léonard 推广到离散图空间，方法是在熵曲率的定义中用 Schrödinger 桥替代 W2-Wasserstein 测地线 [23, 25, 24]。作为一个显著事实，当温度参数趋于零时，这些 Schrödinger 桥由空间的测地线所支撑。我们在离散图上分析这一性质以得到离散空间上的熵曲率。我们的方法为若干图空间例子给出了熵曲率的下界：赋予计数测度的格点 Z^n、赋予乘积概率测度的离散立方体、圆、完全图、Bernoulli-Laplace 模型。我们的一般结果也适用于一大类本文未具体研究的图。与 Erbar-Maas 关于图的结果 [27, 10, 11] 相反，本文的熵曲率结果蕴含了离散空间上新的 Prékopa-Leindler 型不等式，以及与上述图相关的、对应于精细集中性质的新的传输-熵不等式。例如在离散超立方体 {0, 1}^n 和 Bernoulli Laplace 模型上，得到了一种新的 W2–W1 传输-熵不等式，这是无法通过关于维数 n 的通常归纳论证导出的。作为一个令人惊讶的事实，我们的方法还改进了与 Talagrand [38] 所谓凸包方法相关的弱传输-熵不等式（见 [28, 15]）。