关于熵沿熵插值的凸性
概率论
2022-09-05 v1
摘要
熵沿位移插值的凸性性质在 Lott-Sturm-Villani 关于测地度量空间曲率下界的理论中至关重要。由于离散空间不具备测地性，因此在离散设定下需要一种替代的类比理论。用熵插值取代位移插值使得发展严格的微积分成为可能，这与 Otto 的非形式化微积分形成对比。当底层状态空间为黎曼流形时，我们证明了熵作为时间函数沿熵插值的一阶和二阶导数可以用标准的 Bakry-\'Emery 算子 和 表示。另一方面，在离散设定中会出现新的算子。我们的方法是概率性的，依赖于马尔可夫性质和时间反演。我们通过流形上的布朗扩散和图上的随机游走来说明这些计算。我们还给出了一个关于对数 Sobolev 不等式的新统一证明，涵盖了流形和图两种情形，并关联了收敛到平衡态的过程。
引用
@article{arxiv.1310.1274,
title = {On the convexity of the entropy along entropic interpolations},
author = {Christian Léonard},
journal= {arXiv preprint arXiv:1310.1274},
year = {2022}
}