临界点带孔拓扑扩张 Lorenz 映射

设 $f$ 为扩张 Lorenz 映射，$c$ 为临界点。幸存集记为 $S_{f}(H):=\{x\in[0,1]: f^{n}(x)\notin H, \forall n\geq 0\}$，其中 $H$ 为开子区间。此处我们研究孔 $H=(a,b)$ 满足 $a\leq c \leq b$ 且 $a\neq b$ 的情形。我们证明情形 $a=c$ 等价于在 $0$ 处开孔，情形 $b=c$ 等于在 $1$ 处开孔。我们还得到，给定扩张 Lorenz 映射 $f$ 带孔 $H=(a,b)$ 且 $S_{f}(H)\nsubseteqq\{0,1\}$，则存在 Lorenz 映射 $g$ 使得 $\tilde{S}_{f}(H)\setminus\Omega(g)$ 可数，其中 $\Omega(g)$ 为 $g$ 的 Lorenz 移位，$\tilde{S}_{f}(H)$ 为 $S_{f}(H)$ 的符号表示。令 $a$ 固定且 $b$ 在 $(c,1)$ 中变化，我们还给出极大区间 $I(b)$ 的完整刻画，使得对所有 $\epsilon\in I(b)$ 有 $S_{f}(a,\epsilon)=S_{f}(a,b)$，且 $I(b)$ 可能退化为单点 $b$。此外，当 $f$ 具有遍历 acim 时，我们证明拓扑熵函数 $\lambda_{f}(a):b\mapsto h_{top}(f|S_{f}(a,b))$ 在 $a$ 固定时是魔鬼阶梯，若固定 $b$ 则 $\lambda_{f}(b)$ 亦是。在 $f$ 为中间 $\beta$-变换的特殊情形，利用 Ledrappier-Young 公式，我们得到 Hausdorff 维数函数 $\eta_{f}(a):b\mapsto \dim_{\mathcal{H}}(S_{f}(a,b))$ 在固定 $a$ 时为魔鬼阶梯，若固定 $b$ 则 $\eta_{f}(b)$ 亦是。由此，我们将 \cite{Urbanski1986,kalle2020,Langeveld2023} 中的魔鬼阶梯推广到临界点带孔的扩张 Lorenz 映射。