$\beta$--变换零点处有孔的周期轨道相变

给定 $\beta\in(1,2]$，设 $T_\beta\colon [0,1)\to[0,1);~x\mapsto\beta x\pmod 1$。对于 $m\in\mathbb N$，定义 $\tau_m(\beta):=\sup\left\{t\in[0,1)\colon K_\beta(t)\text{ 包含最小周期为 }m\text{ 的周期轨道} \right\}$，其中 $K_\beta(t)=\{x\in[0,1)\colon T_\beta^n(x)\notin(0,t)~\forall n\ge 0\}$ 为带孔动力系统 $(T_\beta, [0,1), H)$ 的幸存集，孔 $H=(0,t)$。本文对 $\tau_m$ 给出完整描述，证明 $\tau_m$ 在分段连续，且 discontinuous 点恰为 $\psi(m)$ 个，其中 $\psi(m)$ 为曼德布罗�集合中周期为 $m$ 的泡沫数。为描述临界值函数 $\tau_m$，我们构造有限的蝴蝶树 $\mathcal T_m$，据此可确定 discontinuity 点及其解析公式，公式基于 Farey 词和代换算子。作为副产品，我们刻画了极端 Lyndon 词和极端 Perron 词。由于我们工作在符号空间中，可将结果用于研究在拓扑包容的 Lorenz 图、带不对称孔的双曲映射、中间 $\beta$--变换、双进制唯一展开以及其他情形下的周期轨道相变。