β 变换的轨道不能位于小区间

对于 $\beta>1$，设 $T_\beta:[0,1]\rightarrow [0,1)$ 为 $\beta$ 变换。我们考虑包含于直径为 $1/\beta$ 的闭区间内的不变 $T_\beta$ 轨道闭包，然后定义函数 $\Xi(\alpha,\beta)$，其值为具有频率 $\alpha$ 的 $T_\beta$ 轨道闭包的上确界，即 $T_\beta$ 轨道闭包中的最大值。本文有效确定 $\Xi$ 的最大定义域，明确指定所有可能包含 $T_\beta$ 轨道的最小区间。补充说明：本标题所述论文由本补充材料完成。