关于β-移位上的对合核与大偏差原理

考虑 $\beta > 1$ 及其整数部分 $\lfloor \beta \rfloor$。众所周知,任意实数 $\alpha \in \Bigl[0, \frac{\lfloor \beta \rfloor}{\beta - 1}\Bigr]$ 可在 $\beta$ 进制下表示为级数展开形式 $\alpha = \sum_{n = 1}^\infty x_n\beta^{-n}$,其中 $x = (x_n)_{n \geq 1}$ 是取值于字母表 $\{0,\; ...\; ,\; \lfloor \beta \rfloor\}$ 的序列。所谓 $\beta$-移位,记作 $\Sigma_\beta$,定义为使得其在移位映射下的所有迭代均小于或等于 $1$ 的拟贪婪 $\beta$-展开的所有序列构成的集合。固定一个 Hölder 连续势 $A$,我们给出 Ruelle 算子 $\psi_A$ 的主特征函数的显式表达式,以获得其对应 Gibbs 态 $\mu_A$ 到双侧 $\beta$-移位的自然扩张。此处我们的主要目标是证明族 $(\mu_{tA})_{t>1}$ 的一级大偏差原理,其速率函数 $I$ 在所有 $A$ 的极大测度支撑的并上取到最大值。上述结论通过一种利用 $\Sigma_\beta$ 及其双侧扩张 $\widehat{\Sigma_\beta}$ 借助于 $1$ 的拟贪婪 $\beta$-展开以及与势 $A$ 相关的所谓对合核的表示技术得以证明。