Walters函数族中函数的对合核与对偶势

我们的记号：点 $( y|x) =(...,y_2,y_1|x_1,x_2,...)$ 属于 $\{0,1\}^{\mathbb{Z}-\{0\}} =\{0,1\}^\mathbb{N}\times \{0,1\}^\mathbb{N}=\Omega^{-} \times \Omega^{+}$，其中 $(x_1,x_2,...) \in \{0,1\}^\mathbb{N}$，$(y_1,y_2,...) \in \{0,1\}^\mathbb{N}$。双射映射 $\hat{\sigma}(...,y_2,y_1|x_1,x_2,...)= (...,y_2,y_1,x_1|x_2,...)$ 称为双边移位，作用于 $\{0,1\}^{\mathbb{Z}-\{0\}}$。给定 $A: \{0,1\}^\mathbb{N}=\Omega^+\to \mathbb{R}$，我们以变量 $x$ 表示 $A$，如 $A(x)$。类似地，给定 $B: \{0,1\}^\mathbb{N}=\Omega^{-}\to \mathbb{R}$，我们以变量 $y$ 表示 $B$，如 $B(y)$。最后，给定 $W: \Omega^{-} \times \Omega^{+}\to \mathbb{R}$，我们以变量 $(y|x)$ 表示 $W$，如 $W(y|x)$。为简便起见，我们记 $A(y|x)=A(x)$ 且 $B(y|x)=B(y)$。概率 $\mu_A$ 表示 $A: \{0,1\}^\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ 的平衡概率。给定连续势 $A: \Omega^+\to \mathbb{R}$，若存在一个连续 $W: \Omega^{-} \times \Omega^{+}\to \mathbb{R}$，使得对所有 $(y|x) \in \{0,1\}^{\mathbb{Z}-\{0\}}$ 有 $$A^* (y) = \left[ A \circ \hat{\sigma}^{-1} + W \circ \hat{\sigma}^{-1} - W \right] (y|x),$$ 则称连续势 $A^*: \Omega^{-}\to \mathbb{R}$ 为 $A$ 的对偶势。我们称 $W$ 为 $A$ 的对合核。函数 $W$ 可用于在 $A$ 的 Ruelle 算子主特征函数所在的线性空间中定义谱投影。给定 $A$，我们针对 P. Walters 引入的函数族中的 $A$，给出 $W$ 与对偶势 $A^*$ 的显式表达式。我们给出 $A$ 为对称型与扭曲型的条件。