遍历输运理论、周期最大化概率与扭转条件

本文是 A. O. Lopes、E. Oliveira 和 P. Thieullen 分析遍历输运问题的另一篇论文的后续。我们的主要焦点是对最大化概率唯一且为周期轨道的情况进行更精确的分析。考虑作用于伯努利空间 $\Sigma={1, 2, 3,.., d}^\mathbb{N}$ 上的移位 $T$ 以及 $A:\Sigma \to \mathbb{R}$ 为一 Hölder 势。记 $m(A)=\max_{\nu \text{ is an invariant probability for } T} \int A(x) \; d\nu(x)$，以及 $\mu_{\infty,A}$ 为任意达到该最大值的概率。我们假设该概率是唯一的（一种通有性质）。我们记 $\tilde{T}$ 为双侧移位。对于给定的 Hölder 势 $A:\Sigma \to \mathbb{R}$，如果存在一个 Hölder 函数 $A^*:\Sigma \to \mathbb{R}$，使得 $A^*(w)= A\circ \tilde{T}^{-1}(w,x)+ W \circ \tilde{T}^{-1}(w,x) - W(w,x)$，则我们称 Hölder 连续函数 $W: \hat{\Sigma} \to \mathbb{R}$ 为 $A$ 的对合核。我们称 $A^*$ 为 $A$ 的对偶势。显然 $m(A)=m(A^*)$。我们记 $V$ 为 $A$ 的校准子作用，$V^*$ 为 $A^*$ 的校准子作用。我们记 $I^*$ 为当 $\beta \to \infty$ 时 $\beta A$ 的吉布斯态族的偏差函数。对于每个 $x$，我们得到一个（或多个）达到上述上确界的 $w_x$。即方程 $V(x) = W(w_x,x) - V^* (w_x)- I^*(w_x)$ 的解。形如 $(x,w_x)$ 的对被称为最优对。如果 $\tilde{T}$ 是作用于 $(x,w) \in {1, 2, 3,.., d}^\mathbb{Z}$ 的移位，那么最优对在 $\tilde{T}^{-1}$ 下的像也是最优对。定理 - 在满足 (i) 扭转条件，(ii) 支撑在周期轨道上的最大化概率唯一的 Hölder 势 $A$ 的集合中通有地，当 $x$ 遍历 $\Sigma$ 中所有可能的元素 $x$ 时，可能的最优 $w_x$ 的集合是有限的。