遍历输运中的对偶定理

我们在遍历论的框架下分析了最优输运理论中的若干问题。在某一类问题中，我们考虑了作为遍历优化问题推广的遍历输运问题。另一类问题如下：设 $\sigma$ 是作用于 Bernoulli 空间 $X=\{0,1\}^\mathbb{N}$ 的移位算子，并考虑一个固定的连续代价函数 $c:X \times X\to \mathbb{R}$。记 $\Pi$ 为 $X\times X$ 上所有 Borel 概率测度 $\pi$ 的集合，使得其 $x$ 和 $y$ 边缘分布均为 $\sigma$-不变概率测度。我们关注的是在 $\Pi$ 中的概率测度上最小化 $\int c d \pi$ 的最优计划 $\pi$。除其他结果外，我们证明了类似的 Kantorovich 对偶定理。我们还分析了在关于 $c$ 的通用假设下最优计划的唯一性。我们研究了在代价为 Lipschitz 连续的假设下，是否存在一对实现当前对偶 Kantorovich 问题的 Lipschitz 函数对偶对。对于连续代价 $c$，经典输运理论与遍历输运理论中的相应结果最终可能不同。我们还考虑了通过支持集投影到周期轨道上的计划的凸组合来逼近最优计划 $\pi$ 的问题。