遍历输运中 Gibbs 计划的熵、压与对偶性

设 $X$ 为有限集，$\Omega=\{1,...,d\}^{\mathbb{N}}$ 为 Bernoulli 空间。记 $\sigma$ 为作用在 $\Omega$ 上的移位映射。对于 $X$ 上满足 supp($\mu$)$=X$ 的固定概率 $\mu$，定义 $\Pi(\mu,\sigma)$ 为所有 Borel 概率 $\pi \in P(X\times \Omega)$ 的集合，使得 $\pi$ 的 $x$-边缘分布为 $\mu$，且 $y$-边缘分布为 $\sigma$-不变。我们考虑一个固定的 Lipschitz 代价函数 $c: X \times \Omega \to \mathbb{R}$ 及其关联的 Ruelle 算子。我们引入了 Gibbs 计划的概念，即 $X \times \Omega$ 上的一个概率测度。此外，我们定义了熵、压及平衡计划。对平衡计划的研究可视为引入熵概念后的最优代价问题的推广。我们证明了平衡计划即为 Gibbs 计划。我们的主要结果是该设定下的 Kantorovich 对偶定理。压在确立容许对的概念中起着重要作用。最后，给定参数 $\beta$（其扮演温度倒数的角色），我们考虑 $\beta c$ 的平衡计划及其当 $\beta \to \infty$ 时的极限 $\pi_\infty$（亦称为基态）。我们将此与先前关于零温遍历输运的结果进行了比较。