具有一般分支族的迭代函数系统的对偶性结果

对于紧度量空间 $X$、$Y$、$Z$ 和 $W$，考虑两个一致压缩的迭代函数系统（IFS）$\{\tau_x: Z\to Z,\, x\in X\}$ 和 $\{\tau_y:W\to W,\, y\in Y\}$。对于固定的 $\alpha \in \mathcal{P}(X)$ 且 $supp(\alpha)=X$，我们定义相对于 $\alpha$ 的全纯测度 $\pi \in \mathcal{P}(X\times Z)$ 的熵、连续代价函数 $c(x,z)$ 的压力，并证明对于 Lipschitz 连续的 $c$，该压力与相关转移算子的谱半径一致。相同的方法可应用于对 $(Y,W)$。对于固定的概率 $\alpha \in \mathcal{P}(X)$ 和 $\beta \in \mathcal{P}(Y)$ 且 $supp(\alpha)=X,\,supp(\beta)=Y$，我们用 $H_\alpha(\pi), \pi \in \Pi(\cdot,\cdot,\tau)$ 表示 $\pi$ 的 $(X,Z)-$边缘相对于 $\alpha$ 的熵，用 $H_\beta(\pi)$ 表示 $\pi$ 的 $(Y,W)-$边缘相对于 $\beta$ 的熵。相对于 $(\alpha,\beta)$ 的连续代价函数 $c \in C(X\times Y \times Z \times W)$ 的边缘压力定义为 $P^{m}(c) = \sup_{\pi\in\Pi(\cdot,\cdot,\tau)} \int c\, d\pi + H_{\alpha}(\pi) +H_{\beta}(\pi)$，我们将证明以下对偶性结果：$$\inf_{P^{m}(c -\varphi(x) -\psi(y))=0} \int \varphi(x)\,d\mu +\int \psi(y)\,d\nu = \sup_{\pi\in\Pi(\mu,\nu,\tau)} \int c\, d\pi + H_{\alpha}(\pi) +H_{\beta}(\pi).$$ 当 $Z$ 和 $W$ 仅有一个点且不考虑熵时，此等式可重写为紧空间 $X,Y$ 和连续代价 $-c$ 的 Kantorovich 对偶性：$$\inf_{c -\varphi(x) -\psi(y)\leq 0} \int \varphi(x)\,d\mu +\int \psi(y)\,d\nu = \sup_{\pi\in\Pi(\mu,\nu)} \int c\, d\pi .$$