IFS 全息概率的熵与变分原理

关联于一个迭代函数系统（IFS），可以考虑一个连续映射 $\hat{\sigma} : [0,1]\times \Sigma \to [0,1]\times \Sigma$，其定义为 $\hat{\sigma}(x,w)=(\tau_{X_{1}(w)}(x), \sigma(w))$，其中 $\Sigma=\{0,1, ..., d-1\}^{\mathbb{N}}$，$\sigma: \Sigma \to \Sigma$ 由 $\sigma(w_{1},w_{2},w_{3},...)=(w_{2},w_{3},w_{4}...)$ 给出，且 $X_{k} : \Sigma \to \{0,1, ..., n-1\}$ 是到坐标 $k$ 上的投影。一个 $\rho$-加权系统，$\rho \geq 0$，是指加权系统 $([0,1], \tau_{i}, u_{i})$，使得存在一个正有界函数 $h : [0,1] \to \mathbb{R}$ 和 $[0,1]$ 上的概率 $\nu$ 满足 $P_{u}(h)=\rho h, \quad P_{u}^{*}(\nu)=\rho\nu$。$[0,1]\times \Sigma$ 上的概率 $\hat{\nu}$ 被称为 $\hat{\sigma}$ 的全息概率，如果 $\int g \circ \hat{\sigma} d\hat{\nu}= \int g d\hat{\nu}, \forall g \in C([0,1])$。我们用 ${\cal H}$ 表示全息概率的集合。通过分解，$[0,1]\times \Sigma$ 上的全息概率 $\hat{\nu}$ 自然地关联于一个 $\rho$-加权系统。更确切地说，存在 $[0,1]$ 上的一个概率 $\nu$ 和 $[0,1]$ 上的 $u_i, i\in\{0, 1,2,..,d-1\}$，使得 $P_{u}^*(\nu)=\nu$。我们考虑全息遍历概率。对于全息概率，我们定义了熵。最后，我们分析了如下问题：给定 $\phi \in \mathbb{B}^{+}$，求解最大化压强问题的解 $$p(\phi)=$$