Riemann 域的全纯基本半群

设 $(W,\Pi)$ 为复流形 $M$ 上的 Riemann 域，$w_0$ 为 $W$ 中一点。令 $\mathbb D$ 为 $\mathbb C$ 中的单位圆盘，$\mathbb T=\bd\mathbb D$。考虑空间 ${\mathcal S}_{1,w_0}({\bar{\mathbb D}},W,M)$，其元素为从 $\mathbb T$ 到 $W$ 的连续映射 $f$，满足 $f(1)=w_0$ 且 $\Pi\circ f$ 可延拓为 $\mathbb D$ 上的全纯映射 $\hat f$。若存在从 $[0,1]$ 到 $\rS_{1,w_0}({\bar{\mathbb D}},W,M)$ 的连续映射 $f_t$，则称映射 $f_0,f_1\in{\mathcal S}_{1,w_0}({\bar{\mathbb D}},W,M)$ 是 {\it $h$-同伦} 的。显然，$h$-同伦是一种等价关系，$f\in{\mathcal S}_{1,w_0}({\bar{\mathbb D}},W,M)$ 的等价类记为 $[f]$，所有等价类的集合记为 $\eta_1(W,M,w_0)$。存在一个自然映射 $\iota_1:\,\eta_1(W,M,w_0)\to\pi_1(W,w_0)$，它将 $f\in{\mathcal S}_{1,w_0}({\bar{\mathbb D}},W,M)$ 映射为其在 $\mathbb T$ 上的限制。我们在 $\eta_1(W,M,w_0)$ 上引入二元运算 $\star$，使其具有带单位元的半群结构。此外，$\iota_1([f_1]\star[f_2])=\iota_1([f_1])\cdot\iota_1([f_2])$，其中 $\cdot$ 是 $\pi_1(W,w_0)$ 上的标准运算。随后，我们建立了 $\eta_1(W,M,w_0)$ 的标准性质并提供了一些例子。特别地，当 $W$ 是 $M=\mathbb C$ 中的有限连通域且 $\Pi$ 为恒等映射时，我们完全描述了 $\eta_1(W,M,w_0)$。具体而言，对于一般域 $W\subset\mathbb C$，我们证明了 $[f_1]=[f_2]$ 当且仅当 $\iota_1([f_1])=\iota_1([f_2])$。