连续函数同伦子集及其应用

在本文中，我们引入连续函数子集之间的双同伦（bi-homotopy）概念。从 $A$ 到 $B$ 的映射 $\phi$ 称为 $h$-映射，若对任意两个同伦的映射 $f, g\in A$，其像（即 $\phi(f), \phi(g)$）在 $B$ 中同伦。称从 $A$ 到 $B$ 的 $h$-映射 $\phi$ 为双同伦，若其满足两个条件。第一，对任意 $f, g \in A$，$\phi(f)$ 在 $B$ 中与 $\phi(g)$ 同伦蕴含 $f$ 在 $A$ 中与 $g$ 同伦。第二，对任意 $g \in B$，存在 $f \in A$ 使得 $\phi(f)$ 在 $B$ 中与 $g$ 同伦。我们建立子集 $A$ 与 $B$ 之间同伦等价的概念（记为 $A \simeq B$），即存在两个双同伦 $\phi$ 从 $A$ 到 $B$ 与 $\psi$ 从 $B$ 到 $A$，满足对每个 $h \in B$ 有 $\phi\psi(h)$ 与 $h$ 同伦，且对每个 $h \in A$ 有 $\psi\phi(h)$ 与 $h$ 同伦。我们随后应用该定义刻画连续函数的同伦子集，并引入 $C(X, Y)$ 的新颖子集范畴，特别是范畴 $\mathcal{P}(C(X, Y))$，其中 $X, Y$ 为两个拓扑空间。在此范畴中，对象表示 $C(X, Y)$ 的子集，态射表示任意两对象间的双同伦，且存在组合态射的复合律。此外，当 $Y$ 为拓扑群（相应地为拓扑环）时，我们扩展该框架以定义连续函数的同伦群（相应地为同伦环）。利用 $X$ 与 $Y$ 的拓扑性质，我们研究 $C(X, Y)$ 的群（相应地为环）性质。我们讨论了所引入双同伦概念在连续函数及其子集研究中的潜在应用与意义。